Học Tập

Tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng là một trong những nội dung quan trọng, xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi môn Toán lớp 12.

Trong bài viết hôm nay Wiki MOC giới thiệu đến các bạn toàn bộ kiến thức về tiệm cận đứng, công thức tìm tiệm cận đứng. Qua đó giúp các em nắm vững kiến thức để giải nhanh được các bài tập Toán trong các bài kiểm tra, bài thi THPT Quốc gia 2021 môn Toán. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm Các dạng toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

1. Tiệm cận đứng

– Cho đồ thị hàm số y = fleft( x right) có tập xác định D.

– Nếu mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } fleft( x right) =  pm infty hoặc mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ - } fleft( x right) =  pm infty thì đường thẳng x = {x_0} là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2. Cách tìm tiệm cận đứng

Cho hàm số y = fleft( x right) = frac{u}{v} có tập xác định D

Bước 1. Muốn xác định đồ thị hàm số có tiệm cận hay không ta tìm nghiệm của phương trình v = 0. Ví dụ x = a là nghiệm của phương trình.

Bước 2. Xét x = a có là nghiệm của tử thức u:

+ Nếu x = a là không nghiệm của u = 0 thì x = a là một tiệm cận đứng.

+ Nếu x = a là nghiệm của u = 0 thì phân tích đa thức thành nhân tử:

y = frac{u}{v} = frac{{{{left( {x - a} right)}^m}.hleft( x right)}}{{{{left( {x - a} right)}^n}.gleft( x right)}} . Rút gọn x – a:

Nếu còn nhân tử x – a dưới mẫu thì x = a là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Nếu không còn nhân tử x – a trên tử hay ca tử và mẫu thì x – a không là tiệm cận đứng của đồ thị.

– Công thức tính tiệm cận của hàm phân thức y = frac{{ax + b}}{{cx + d}},left( {ad - bc ne 0;c ne 0} right)

Rightarrow x =  - frac{d}{c} là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

3. Dấu hiệu nhận biết tiệm cận đứng

– Hàm phân thức khi nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.

4. Bài tập tiệm cận đứng

Câu 1: Cho hàm số y = frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} - 4x + 3}}. Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 1 và x = 3.

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = 3.

Gợi ý đáp án

Tập xác định của hàm số:

begin{matrix}
  D = mathbb{R}backslash left{ {1;3} right} hfill \
  left{ {begin{array}{*{20}{c}}
  {mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} y =  + infty } \ 
  begin{gathered}
  mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} y =  - infty  hfill \
  mathop {lim }limits_{x to {3^ - }} y =  + infty  hfill \
  mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} y =  - infty  hfill \ 
end{gathered}  
end{array}} right. Rightarrow TCD:x = 1;x = 3 hfill \ 
end{matrix}

Chú ý: Chỉ cần tính giới hạn một bên trái hoặc phải

→ Đáp án B

Bài tập 2: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = frac{{x + 1}}{{sqrt {{x^2} - 1} }}.

Gợi ý đáp án

Tập xác định của hàm số:

begin{matrix}
  D = left( { - infty ; - 1} right) cup left( {1; + infty } right) hfill \
  mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} dfrac{{x + 1}}{{sqrt {{x^2} - 1} }} = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} left( { - sqrt {dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} } right) = 0 hfill \
  mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} dfrac{{x + 1}}{{sqrt {{x^2} - 1} }} = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} sqrt {dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}}  =  + infty  hfill \ 
end{matrix}

Vậy đồ thị có một tiệm cận đứng là x = 1

Bài tập 3: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số y = frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} có đúng một tiệm cận đứng.

A. m in left{ { - 1; - 4} right} B. m =  - 1
C. m =  - 4 D. m in left{ {1;4} right}

Gợi ý đáp án

Ta có:

y = frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = frac{{{x^2} + m}}{{left( {x - 1} right)left( {x - 2} right)}}

Để đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi:

left[ {begin{array}{*{20}{c}}
  {{1^2} + m = 0} \ 
  {{2^2} + m = 0} 
end{array} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
  {m + 1 = 0} \ 
  {m + 4 = 0} 
end{array} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
  {m =  - 1} \ 
  {m =  - 4} 
end{array}} right.} right.} right.

→ Đáp án A

Bài tập 4: 

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=frac{2 x+1}{x-1}.

A. x=1 ; x=2.

B. y=1 ; x=2.

C. x=1 ; y=2.

D. x=1 ; x=-2.

Gợi ý đáp án

+) Ta có: lim _{x rightarrow 1^{+}} y=+infty Rightarrow x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim _{x rightarrow+infty} y=2 Rightarrow y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

⇒Chon đáp án C.

Câu 5. Đồ thị hàm số y=frac{x-2}{x^{2}-4} có mấy tiệm cận?

Gợi ý đáp án

Ta có: y=frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=frac{1}{x+2} ; forall x neq 2.

+) Ta có:lim _{x rightarrow(-2)^{-}} y=lim _{x rightarrow(-2)^{-}} frac{1}{x+2}=+infty

lim _{x rightarrow(-2)^{-}} y=lim _{x rightarrow(-2)^{-}} frac{1}{x+2}=-infty Rightarrow x=-2 là đường tiệm

Tiệm cận đứng là một trong những nội dung quan trọng, xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi môn Toán lớp 12.

Trong bài viết hôm nay Wiki MOC giới thiệu đến các bạn toàn bộ kiến thức về tiệm cận đứng, công thức tìm tiệm cận đứng. Qua đó giúp các em nắm vững kiến thức để giải nhanh được các bài tập Toán trong các bài kiểm tra, bài thi THPT Quốc gia 2021 môn Toán. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm Các dạng toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

1. Tiệm cận đứng

– Cho đồ thị hàm số y = fleft( x right) có tập xác định D.

– Nếu mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } fleft( x right) =  pm infty hoặc mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ - } fleft( x right) =  pm infty thì đường thẳng x = {x_0} là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2. Cách tìm tiệm cận đứng

Cho hàm số y = fleft( x right) = frac{u}{v} có tập xác định D

Bước 1. Muốn xác định đồ thị hàm số có tiệm cận hay không ta tìm nghiệm của phương trình v = 0. Ví dụ x = a là nghiệm của phương trình.

Bước 2. Xét x = a có là nghiệm của tử thức u:

+ Nếu x = a là không nghiệm của u = 0 thì x = a là một tiệm cận đứng.

+ Nếu x = a là nghiệm của u = 0 thì phân tích đa thức thành nhân tử:

y = frac{u}{v} = frac{{{{left( {x - a} right)}^m}.hleft( x right)}}{{{{left( {x - a} right)}^n}.gleft( x right)}} . Rút gọn x – a:

Nếu còn nhân tử x – a dưới mẫu thì x = a là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Nếu không còn nhân tử x – a trên tử hay ca tử và mẫu thì x – a không là tiệm cận đứng của đồ thị.

– Công thức tính tiệm cận của hàm phân thức y = frac{{ax + b}}{{cx + d}},left( {ad - bc ne 0;c ne 0} right)

Rightarrow x =  - frac{d}{c} là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

3. Dấu hiệu nhận biết tiệm cận đứng

– Hàm phân thức khi nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.

4. Bài tập tiệm cận đứng

Câu 1: Cho hàm số y = frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} - 4x + 3}}. Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 1 và x = 3.

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = 3.

Gợi ý đáp án

Tập xác định của hàm số:

begin{matrix}
  D = mathbb{R}backslash left{ {1;3} right} hfill \
  left{ {begin{array}{*{20}{c}}
  {mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} y =  + infty } \ 
  begin{gathered}
  mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} y =  - infty  hfill \
  mathop {lim }limits_{x to {3^ - }} y =  + infty  hfill \
  mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} y =  - infty  hfill \ 
end{gathered}  
end{array}} right. Rightarrow TCD:x = 1;x = 3 hfill \ 
end{matrix}

Chú ý: Chỉ cần tính giới hạn một bên trái hoặc phải

→ Đáp án B

Bài tập 2: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = frac{{x + 1}}{{sqrt {{x^2} - 1} }}.

Gợi ý đáp án

Tập xác định của hàm số:

begin{matrix}
  D = left( { - infty ; - 1} right) cup left( {1; + infty } right) hfill \
  mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} dfrac{{x + 1}}{{sqrt {{x^2} - 1} }} = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} left( { - sqrt {dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} } right) = 0 hfill \
  mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} dfrac{{x + 1}}{{sqrt {{x^2} - 1} }} = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} sqrt {dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}}  =  + infty  hfill \ 
end{matrix}

Vậy đồ thị có một tiệm cận đứng là x = 1

Bài tập 3: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số y = frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} có đúng một tiệm cận đứng.

A. m in left{ { - 1; - 4} right} B. m =  - 1
C. m =  - 4 D. m in left{ {1;4} right}

Gợi ý đáp án

Ta có:

y = frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = frac{{{x^2} + m}}{{left( {x - 1} right)left( {x - 2} right)}}

Để đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi:

left[ {begin{array}{*{20}{c}}
  {{1^2} + m = 0} \ 
  {{2^2} + m = 0} 
end{array} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
  {m + 1 = 0} \ 
  {m + 4 = 0} 
end{array} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
  {m =  - 1} \ 
  {m =  - 4} 
end{array}} right.} right.} right.

→ Đáp án A

Bài tập 4: 

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=frac{2 x+1}{x-1}.

A. x=1 ; x=2.

B. y=1 ; x=2.

C. x=1 ; y=2.

D. x=1 ; x=-2.

Gợi ý đáp án

+) Ta có: lim _{x rightarrow 1^{+}} y=+infty Rightarrow x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim _{x rightarrow+infty} y=2 Rightarrow y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

⇒Chon đáp án C.

Câu 5. Đồ thị hàm số y=frac{x-2}{x^{2}-4} có mấy tiệm cận?

Gợi ý đáp án

Ta có: y=frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=frac{1}{x+2} ; forall x neq 2.

+) Ta có:lim _{x rightarrow(-2)^{-}} y=lim _{x rightarrow(-2)^{-}} frac{1}{x+2}=+infty

lim _{x rightarrow(-2)^{-}} y=lim _{x rightarrow(-2)^{-}} frac{1}{x+2}=-infty Rightarrow x=-2 là đường tiệm

Mộc Media

Mộc Media cung cấp dịch vụ quay phim, chụp hình cưới đặc biệt: chụp hình ngoại cảnh, quay phim chụp hình phóng sự cưới.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button